合作关系不断变化，会让人更愿意帮助彼此吗？一项演化博弈研究发现，答案取决于关系怎样切换，以及谁在切换后获得更大的影响力。
Structure-coefficient theorem for evolutionary games on dynamic networks
动态网络演化博弈的结构系数定理
作者：Zizhuo Zhang、Yu Xia、Bo Yang、Xinping Guan、Qi Su（苏奇）
通讯作者：Bo Yang、Xinping Guan、Qi Su
作者单位：上海交通大学自动化与感知学院，及论文署名的相关教育部重点实验室、上海市重点实验室
期刊：Nature Computational Science
在线发表：2026年10月22日；2026年9月9日接收
研究类型：演化博弈理论、网络分析与计算机模拟
DOI：10.1038/s43588-026-01068-9
论文首页｜动态网络演化博弈的结构系数定理；完整保留作者、摘要和出版信息
在人际合作中，人与谁接触，常常和个人选择同样重要。固定的伙伴关系可能让合作逐步积累，也可能让不合作的行为长期占据有利位置。现实中的互动又经常变化：团队轮换、伙伴更替、接触机会重新分配，都可能改变一种行为能够影响到多少人。
演化博弈把这个问题转化为可以分析的过程：人们在互动中获得收益，再通过模仿或探索改变行为。如果人与人之间的连接始终固定，研究可以考察哪些网络结构有利于合作；一旦连接也随时间变化，收益、模仿方向与网络位置就会一起改变，分析难度明显增加。
本文首先希望获得一个统一的数学工具，再用它寻找能促进多种亲社会行为的动态结构。这里的“亲社会行为”包括合作、利他、公平和信任，它们在模型中由不同博弈分别表示。研究提供的是关于行为演化的理论与模拟证据，后文的“人群”与“个体”首先指模型中的主体。
图1展示了基本过程：个体在当前网络中互动，随后更新策略，网络再按预先设定的概率发生切换。研究由此把“改变做法”与“改变接触对象”放进同一个动态系统中，考察两种变化怎样共同影响行为的长期分布。
图1｜互动、策略更新与网络切换构成一个演化步骤；保留全部面板及两栏完整英文图注
网络怎样变化。模型包含固定数量的个体，但同一群人可以出现在多个不同连接结构中。网络按照马尔可夫过程切换，下一步使用哪个结构由当前网络及转移概率决定。本文的重要条件是网络变化外生于策略：某条关系是否改变，并不直接由参与者当前是否合作决定。这与主动远离不合作者的择友过程有明确区别。
行为怎样更新。个体先与当前邻居进行博弈并积累收益，收益影响其行为被别人模仿的机会。主要应用采用逐个更新的规则：每次选择一个个体，它可能模仿邻居，也可能以一定概率随机尝试一种策略。文中的“突变率”可以理解为模型里的随机探索概率，并不专指人类行为中的某一种心理机制。
理论分析主要工作在弱选择条件下，也就是收益差异对传播机会的影响相对温和。作者围绕没有收益偏向的中性情形，计算收益产生的一阶变化。这样既保留网络位置、模仿和探索的共同作用，也使原本复杂的系统能够形成可以计算的判别式。
当随机探索持续存在时，已经减少的策略仍有机会重新出现，群体不会永远停在某一次模拟的最终画面里。因此，研究主要比较长期平稳状态的平均频率，把多次变化中某种行为占据多大份额作为结果。这也解释了为何后文的单条传播轨迹用于展示机制，而理论判断依赖更一般的长期统计量。
四类行为使用不同的博弈度量。合作采用捐赠博弈：合作方支付成本c，使对方获得收益b；利他采用独裁者博弈，以自愿分给对方的平均份额衡量；公平采用最后通牒博弈，考察平均提议份额；信任采用信任博弈，以平均投入份额衡量。信任博弈中，投入先被放大，再由接受方决定返还比例，基准分析的放大倍数为1.5。
这些度量让多种行为进入同一套理论比较，但仍保留各自含义。较高的平均提议份额对应论文采用的公平指标，并不涵盖所有公平观念；较多的投资对应模型中的信任，也需要与对方返还的可信赖程度区分。论文在扩展分析中另外检查了返还比例和拒绝门槛。
比较动态与静态时，控制结构差别。在随机网络分析中，每个动态网络由两个同构的静态配置组成，它们的拓扑形状相同，只是个体对应的位置经过重新排列。单独固定在任一配置时，两者的演化表现等价。因此，动态与静态结果的差异，主要对应在这些位置配置之间切换带来的影响。
1. 复杂的动态结构，可以用三个结构系数进入统一判别式
本文的基础贡献是一项动态网络结构系数定理。在理论的适用条件下，网络结构、更新规则和随机探索对策略平均频率的影响，可以通过三个结构系数，与博弈收益矩阵中的不同对比项组合起来。它们将互动收益与网络传播环境的作用连接起来。
直观地说，某一种行为是否更常见，既取决于它与他人互动时获得什么收益，也取决于这些收益如何通过网络影响模仿。三个系数概括的是后一个部分。给定网络及更新环境后，计算一次系数，就能在同一条件下比较不同收益设置，而不必为每一种博弈重新描述全部演化过程。
作者考察的是策略在长期平稳状态中的平均频率。若有n种策略，中性基准为每种策略平均占比一除以n，某种策略高于该基准，就表示它受到选择偏向。这个判别对象与一次短期模拟里哪种策略最终占满网络不同，也与现实社会中某个人是否愿意合作属于不同层级的问题。
三个系数也并不意味着计算只需要三个简单步骤。它们背后需要处理个体之间的两两、三元策略相关性，并对不同网络状态加以区分。论文指出，三元相关性的方程系统是主要计算瓶颈，规模随个体数的三次方及网络状态数增加。统一表示的价值，在于计算后能够反复比较收益设置，同时明确保留计算复杂度的限制。
定理同时给出了可计算的路径。作者向后追踪策略传播的来源，计算在不同个体与网络状态上停留的权重，并结合中性情况下的策略相关性及收益对更新概率的影响。结构系数因此包含了网络切换的时间信息，通常无法通过简单平均各个静态网络的系数来恢复。
2．在两万个抽样网络中，随机切换通常削弱亲社会行为
研究先从十类常见网络模型中抽取两万个动态网络，每个网络包含六十个节点。每个案例比较在两个同构配置间切换的过程，与固定在其中任一配置上的过程。图2先展示每一步都切换的情形，再在扩展数据中检查较慢的转移速度。
在这一组主图设置下，合作、公平和信任三类指标都没有出现优于静态对应物的抽样案例；利他指标只有0.36%的案例获得改善。这些百分比的分母是本文抽取的两万个模型网络，所对应的是指定更新、选择与切换设置下的比较。
合作图有一个特别需要留意的指标方向：图2画的是收益成本临界比的倒数，数值越大，表示条件越有利于合作。作者采用倒数，是为了避免原临界比跨越正负号时，单纯把“数字更小”理解成“合作更容易”所带来的歧义。其余三个面板则比较平均提议或投入份额。
这些结果提示，连接持续变化并不自动创造合作收益。随机重排位置可能打散合作传播所需的局部结构，使原先能够积累的优势难以保持。与此同时，抽样范围也限定了结论：本文没有穷尽所有动态网络，更没有直接测量真实社会中随机换同伴的平均效果。
图2｜两万个随机动态网络与静态对应物的比较；保留博弈示意、四类结果及完整英文图注
3．让核心位置交替变化，可以找到促进四类行为的结构
作者接着寻找更具体的结构机制，识别出一类动态核心—边缘网络。核心由一圈节点组成，边缘节点之间在基准模型中没有内部连接。两个静态配置保留同一批个体及相同形状，差别在于边缘连接落在核心环的哪一半。
在一个配置中，边缘个体连接第一组核心节点；切换后，它们连接另一组核心节点。这样，一部分核心个体会轮流获得大量连接，成为当前的高连接枢纽。发生变化的是这些个体的连接数量和传播机会，个体身份本身没有被替换。
图3比较动态结构与静态对应物，发现这一类切换在较宽的参数范围内，可以改善合作、利他、公平和信任四类指标。它提供了一个具体的反例：总体上不利的随机网络比较，并不排除某些有组织的动态结构产生相反结果。
理解这个发现时，关键在于“怎样变”。核心与边缘的组织方式、两种连接配置，以及切换相对于行为更新的速度，共同决定了结果。把它简化成“多换朋友就能更合作”，会丢掉论文真正找到的结构条件。
图3｜核心—边缘连接交替与四类行为的参数比较；保留a—m全部面板及完整英文图注
4．合作的传播优势，来自枢纽角色的重新分配
为了说明机制，图4展示一条代表性的模拟轨迹。最初，合作行为只出现在少数位置，其中一个合作个体处于连接较少的核心节点。网络切换后，这个个体的连接增加，转变为能够影响更多邻居的活跃枢纽，合作随后从这里向外扩散。
论文给出的例子中，在第58步只有少数合作者；第59步发生切换后，核心中的合作个体获得枢纽位置；到第65步合作已明显传播，并在第105步占据该次轨迹中的整个群体。这些时点用于展示一次模拟中的过程，不能当成所有网络共同的传播速度。
同样的机制也可以帮助合作从背叛者入侵中恢复。若不合作的个体占据当前枢纽，它能够影响许多邻居；随后的结构变化可能让它失去高连接位置，同时让仍保留合作策略的个体获得更大的传播机会。由此，网络动态改变了谁的策略更容易被模仿。
图4支持的是对模拟过程的机制解读。它并不说明网络会识别谁值得奖励，也不包含按道德表现选择枢纽的规则。切换外生于个体策略，合作优势是在指定结构、更新机制与时间安排共同作用下出现的群体结果。
图4｜一条代表性模拟轨迹中合作的扩散与恢复；保留全部网络快照、时间曲线及完整英文图注
5．不同亲社会行为，需要的切换速度并不相同
如果关系变化过慢，动态网络逐步接近静态情形，角色交替带来的额外作用也随之减弱。切换过快时，刚获得传播优势的合作个体可能还来不及影响足够多邻居，枢纽位置就再次变化，不合作策略也可能重新获得扩散机会。
在论文讨论的核心—边缘结构中，合作与公平在中等切换速度附近表现出更强促进，而利他与信任在快速切换的极限下更有利。能同时促进四类行为，并不意味着四类行为共享同一个最优切换速度。这也是用统一框架分析多个行为指标的价值：共同结构机制与具体参数差异可以同时保留。
图3横轴中的重标度持续时间，表达的是结构变化相对于策略更新的节奏。数值越大，切换越慢；数值越小，切换越快。它是模型的相对时间，不能直接换算成现实组织每周或每月轮岗一次。把理论结论转为具体制度安排，需要另外确定现实中的行为更新过程及相应时间尺度。
研究还改变随机探索概率与边缘规模。更强的随机探索会削弱许多亲社会指标，而动态结构相对静态结构的优势仍能在所考察的较宽范围内保留。图中的“优势”主要指两种结构之间的比较，其大小和绝对行为水平都随参数变化，接近完全随机探索的极限时尤其需要区分这一点。
6．促进作用能够扩展，但仍受理论条件约束
原始结构采用规则的核心环和内部不相连的边缘，作者进一步放宽这些几何设置。图5将边缘改为随机网络，或把单一核心替换为两个稀疏连接的核心社区，再比较动态与静态对应物。每种推广结构考察一百次独立网络实现，细线表示各次结果，粗线汇总中位数。
这些检验表明，促进作用并不只存在于一张精确画好的网络上。论文还比较了平均收益、非对称切换和聚合网络等设置，并通过模拟检查更强选择时的表现。对照固定枢纽的富人俱乐部结构，进一步突出了有利网络位置随时间重新分配这一特征。
不过，这些推广并没有取消模型边界。解析定理主要在弱选择条件下成立，更强选择下某一类结构表现良好，并不说明所有未来应用都自动得到保证。网络转移仍然外生，随机探索采用对称设置；人们依据实际互动调整关系，或只在相近策略之间试探的过程，还需要不同的模型处理。
图5｜边缘和核心结构推广后的四类行为比较；保留全部面板及两栏完整英文图注
这篇研究提供了两层贡献。一层是方法：用三个结构系数，将动态连接、更新规则与探索行为的影响带入统一的策略判别框架。另一层是结构发现：在大量随机切换通常不利于亲社会行为的背景下，特定核心—边缘交替能够让合作、利他、公平与信任获得传播优势。
它让我们更具体地思考“关系变化”的含义。同样是在不同配置之间切换，个体所获得的连接数量、位置持续时间与模仿机会，可以完全不同。一个静态网络的平均连接程度，或者把多个时刻简单叠在一起的图，都可能遗漏这些时间上的组织方式。
对于关心平台、组织或城市互动的人，这项工作可以提供提出假设的起点：谁长期占据接触机会较多的位置？这些位置能否发生交替？行为传播需要多长时间？不同目标是否要求不同的切换节奏？这些问题具有启发性，但具体应用效果仍需要与相应场景的数据、实验和制度约束结合验证。
尤其要看到，本文没有开展人类受试实验，也没有证明现实中的轮岗、社交平台改版或社区活动安排已经取得同样效果。模型里的利他、公平与信任都有明确的博弈定义，现实中的这些概念还涉及动机、规范、信息与关系历史。理论与模拟为后续实验提供候选机制，其有效范围仍然需要逐步建立。
最值得带走的发现，是亲社会行为的演化既与互动收益有关，也与传播机会怎样在时间中分配有关。把“谁和谁连接”进一步扩展为“何时连接、位置持续多久、下一个有影响力的人是谁”，能够揭示静态结构里不容易看到的机制。
论文对应版本：https://doi.org/10.5281/zenodo.22152088
